1.2. 传输线理论

传输线是射频工程的核心基础——它连接射频信号源与负载，以电磁波形式传输能量。

1.2.1. 传输线的基本模型

1.2.1.1. 集总参数单元

当传输线长度与波长可比时，用分布参数模型描述。每单位长度传输线由四个参数表征：

   R (Ω/m)    L (H/m)
──╌╌─┬─╌╌╌╌─┬─╌╌─┬─╌╌╌╌─┬─╌╌──
     │       │     │       │
     ═ G (S/m)     ═ C (F/m)
     │       │     │       │
──╌╌─┴─╌╌╌╌─┴─╌╌─┴─╌╌╌╌─┴─╌╌──
Δz              Δz

其中：

• \(R\) = 单位长度串联电阻（导体损耗）

• \(L\) = 单位长度串联电感

• \(G\) = 单位长度并联电导（介质损耗）

• \(C\) = 单位长度并联电容

1.2.1.2. 电报方程

\[ \begin{align}\begin{aligned}\frac{\partial V(z,t)}{\partial z} = -R\,i(z,t) - L\,\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}\\\frac{\partial i(z,t)}{\partial z} = -G\,v(z,t) - C\,\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}\end{aligned}\end{align} \]

稳态正弦信号下的解：

\[ \begin{align}\begin{aligned}V(z) = V_0^+ e^{-\gamma z} + V_0^- e^{\gamma z}\\I(z) = I_0^+ e^{-\gamma z} + I_0^- e^{\gamma z}\end{aligned}\end{align} \]

1.2.2. 传播常数与特征阻抗

\[ \begin{align}\begin{aligned}\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{(R + j\omega L)(G + j\omega C)}\\Z_0 = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}}\end{aligned}\end{align} \]

无耗传输线 ( \(R = 0,\ G = 0\) )：

\[\alpha = 0, \quad \beta = \omega \sqrt{LC}, \quad Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}}, \quad v_p = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \quad \lambda = \frac{2\pi}{\beta}\]

1.2.3. 常见传输线类型

1.2.3.1. 微带线（Microstrip）

┌──────────────────────┐  ← 导体带（宽度 W）
│     εr (介质基板)     │  ← 厚度 h
└──────────────────────┘
═══════════════════════   ← 底层地平面

\[ \begin{align}\begin{aligned}Z_0 \approx \frac{87}{\sqrt{\varepsilon_r + 1.41}} \ln\left(\frac{5.98 h}{0.8W + t}\right) \quad \text{(W/h < 1)}\\\varepsilon_{\text{eff}} = \frac{\varepsilon_r + 1}{2} + \frac{\varepsilon_r - 1}{2} \left(1 + 12\frac{h}{W}\right)^{-1/2}\end{aligned}\end{align} \]

参数	典型值	说明
基板介电常数 \(\varepsilon_r\)	4.5 (FR4), 3.5 (Rogers 4350B)	FR4 损耗大，高频推荐 Rogers
基板厚度 \(h\)	0.254 ~ 1.6 mm	厚基板阻抗高
铜厚 \(t\)	0.035 mm (1 oz) / 0.07 mm (2 oz)	厚铜损耗小
损耗角正切 \(\tan\delta\)	0.02 (FR4), 0.0037 (Rogers)	FR4 在 GHz 级损耗过大

小技巧

微带线的设计中，通常使用 Polar Si8000 或 ADS LineCalc 工具 根据目标阻抗反推线宽。

1.2.3.2. 带状线（Stripline）

═══════════════════════  ← 顶层地平面
──────────────────────  ← 导体带（宽度 W）
═══════════════════════  ← 底层地平面

带状线位于上下地平面之间，无辐射损耗，适合多层 PCB 的内层 RF 走线。

1.2.3.3. 共面波导（CPW）

────  ────────────────────  ────
GND    RF 信号走线         GND
────  ────────────────────  ────
════════════════════════════════  ← 地平面（可选）

CPW 两侧有地平面，串扰小，适合密集布线。

1.2.4. 传输线阻抗不连续

阶梯阻抗变化：

     Z₁ = 50 Ω           Z₂ = 75 Ω
──────────┬────────────────────────
           │
           │ 电容效应 + 电感效应
           │

过孔引入的寄生参数：

等效电路：
     ──┬── L_via ──┬──
       │           │
       ═ C_pad     ═ C_anti-pad
       │           │
     ──┴───────────┴──

警告

阻抗不连续会引入附加反射。在 PCB 设计中应尽量减少： - 走线宽度突变（用渐变线过渡） - 不必要的过孔（每个过孔约 0.5 nH 电感） - 直角拐弯（用 45° 或圆弧代替）

1.2.5. 传输线端接条件

端接	\(Z_L\)	\(\Gamma\)	VSWR	说明
匹配负载	\(Z_0\)	0	1:1	无反射，最大功率传输
短路	0	-1	\(\infty\)	全反射，反相
开路	\(\infty\)	+1	\(\infty\)	全反射，同相
纯电抗	\(jX\)	\(\frac{jX - Z_0}{jX + Z_0}\)	\(> 1\)	全反射，相移

1.2.6. 传输线的输入阻抗

长度为 \(l\) 的传输线，端接负载 \(Z_L\) 时，输入阻抗为：

\[Z_{\text{in}} = Z_0 \frac{Z_L + jZ_0 \tan(\beta l)}{Z_0 + jZ_L \tan(\beta l)}\]

特殊长度的输入阻抗：

长度	\(Z_{\text{in}}\)	应用
\(l = \lambda/4\)	\(Z_0^2 / Z_L\)	四分之一波长阻抗变换器
\(l = \lambda/2\)	\(Z_L\)	半波长线，阻抗重现已
\(l = \lambda/8\)	\(Z_0 \frac{Z_L + jZ_0}{Z_0 + jZ_L}\)	阻抗变换